Η έννοια της συνάρτησης και η γραφική της παράσταση αποτελούν θεμελιώδη κεφάλαια των Μαθηματικών, καθώς χρησιμοποιούνται για την περιγραφή σχέσεων μεταξύ μεταβαλλόμενων μεγεθών σε όλες τις θετικές επιστήμες.
1 Θεωρία: Η Έννοια της Συνάρτησης
Ορισμός και Βασικές Έννοιες
* Συνάρτηση ονομάζεται μια αντιστοιχία από ένα σύνολο \(Α\) σε ένα σύνολο \(Β\), όπου κάθε στοιχείο του συνόλου \(Α\) αντιστοιχίζεται με ένα μόνο στοιχείο του συνόλου \(Β\). \[ f : A \rightarrow B \]
- Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ. \(x, y, t\)) που χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου. Στις συναρτήσεις, η μεταβλητή \(y\) εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής \(x\) (\(y = f(x)\)).
- Πεδίο Ορισμού είναι το σύνολο \(Α\) των τιμών εισόδου.
- Πεδίο Τιμών είναι το σύνολο των στοιχείων του \(Β\) που αντιστοιχίζονται με τα στοιχεία του \(Α\).
Τρόποι Αναπαράστασης Μια συνάρτηση μπορεί να δοθεί με:
1. Λεκτική περιγραφή ή κανόνα. Παράδειγμα: “κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται με το τετράγωνό του μειωμένο κατά 2”
2. Βελοειδές διάγραμμα.
3. Πίνακα τιμών, που δείχνει τα ζεύγη των μεταβλητών \(x\) και \(y=f(x)\).
4. Μαθηματικό τύπο (π.χ. \(y = x^2 -2\)).
5. Γραφική παράσταση. παραπάνω εικόνα στο 3.
2 Θεωρία: Γραφική Παράσταση
Καρτεσιανές Συντεταγμένες Για να σχεδιάσουμε μια συνάρτηση, χρησιμοποιούμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων.
* Ο οριζόντιος άξονας \(x'x\) λέγεται άξονας των τετμημένων.
* Ο κατακόρυφος άξονας \(y'y\) λέγεται άξονας των τεταγμένων.
* Κάθε σημείο \(Μ\) στο επίπεδο προσδιορίζεται από ένα ζεύγος αριθμών \((x, y)\), τις συντεταγμένες του.
Χαρακτηριστικά Γραφικών Παραστάσεων
* Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες \((x, y)\) που επαληθεύουν τον τύπο της.
* Γραμμική Συνάρτηση (\(y = \alpha x + \beta\)): Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή.
* Αν \(\beta = 0\), η ευθεία \(y = \alpha x\) διέρχεται από την αρχή των αξόνων \(O(0,0)\).
* Ο αριθμός \(\alpha\) ονομάζεται κλίση της ευθείας και ισούται με τον λόγο της κατακόρυφης μεταβολής \(\Delta y\) προς την οριζόντια μεταβολή \(\Delta x\).
* Η ευθεία \(y = \alpha x + \beta\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \((0, \beta)\).
* Συνάρτηση Αντιστρόφως Ανάλογων Ποσών (\(y = \frac{\alpha}{x}\)): Η γραφική της παράσταση ονομάζεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους.
3 Ασκήσεις και Εφαρμογές
Ένας φούρναρης έχει υπολογίσει ότι από 10 κιλά αλεύρι φτιάχνει13 κιλά φωμί. Πόσα κιλά ψωμί θα κάνει με 210 κιλά αλεύρι; Να εκφράσετε την ποσότητα του ψωμιού που φτιάχνεται ως συνάρτησης της ποσότητας του αλευριού που χρησημοποιείται.
(Αντιστοιχίες)**
Ποια από τα παρακάτω βελοειδή διαγράμματα παριστάνουν συνάρτηση;
α) 
β) 
- (Γραφική παράσταση - Κατακόρυφη γραμμή)**
Ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δεν παριστάνουν συνάρτηση;
α) Μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω 
β) Ένας κύκλος 
γ) Μια ευθεία γραμμή με κλίση 
δ) Η διπλή υπερβολή 
Για να ελέγξεις αν ένα γράφημα είναι συνάρτηση: Φέρε νοερά μια κατακόρυφη γραμμή – αν τέμνει το γράφημα σε περισσότερα από ένα σημεία, δεν είναι συνάρτηση.
3.1 Τύπος - Πίνακας Τιμών - Γράφημα
- (Συμπλήρωση πίνακα)
Δίνεται η συνάρτηση ( f(x) = 2x + 1 ).
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (y = f(x)) |
α) Να συμπληρώσεις τον πίνακα.
β) Να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων.
γ) Τι είδους γραμμή είναι;
- (Αντίστροφη διαδικασία - Εύρεση τύπου)
Μια ευθεία γραμμή διέρχεται από τα σημεία ( A(0, 2) ) και ( B(2, 8) ).
α) Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης \(y = \alpha x + \beta\).
β) Να βρεις την τιμή της συνάρτησης στο ( x = 5 ).
γ) Να βρεις το ( x ) όταν ( y = 20 ).
Για να βρεις τον τύπο ευθείας από δύο σημεία: Υπολόγισε \(\alpha = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) και μετά βρες το \(\beta\) από το \(\beta = y - \alpha x\) .
- (Σύγκριση συναρτήσεων)
Δίνονται οι συναρτήσεις: \(f(x) = 2x \quad \text{και} \quad g(x) = 2x + 3\)
α) Να κάνεις πίνακες τιμών για ( x = -2, -1, 0, 1, 2 ).
β) Να τις σχεδιάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων.
γ) Ποια σχέση έχουν οι δύο ευθείες;
3.2 Προβλήματα Καθημερινής Ζωής
- (Ταξί)
Σε μια εταιρεία ταξί, η χρέωση δίνεται από τον τύπο:
\(K=0,80+0,60\cdot x\), οπου x είναι τα χιλιόμετρα που διανύει.
α) Να γράψεις τον τύπο ως συνάρτηση ( K(x) ), όπου ( x ) τα χιλιόμετρα.
β) Πόσο κοστίζει μια διαδρομή 5 χιλιομέτρων;
γ) Αν κάποιος πλήρωσε 4,40€, πόσα χιλιόμετρα έκανε;
- (Δεξαμενή νερού)
Μια δεξαμενή έχει 500 λίτρα νερό. Ανοίγουμε μια βρύση που αδειάζει 20 λίτρα το λεπτό.
α) Να εκφράσεις τα λίτρα νερού ( V(t) ) που μένουν στη δεξαμενή ως συνάρτηση του χρόνου ( t ) (σε λεπτά).
γ) Μετά από 15 λεπτά, πόσα λίτρα έχουν μείνει;
δ) Σε πόσα λεπτά αδειάζει τελείως η δεξαμενή;
3.3 Γραφικές Παραστάσεις - Ανάλυση
- (Διάβασμα γραφικής παράστασης)
Στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ( f ) βλέπουμε τα σημεία: ( A(-2, 1) ), ( B(0, 3) ), ( C(2, 5) ), ( D(4, 7) )
α) Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης. β) Να υπολογίσεις την τιμή ( f(6) ). γ) Να βρεις το ( x ) για το οποίο ( f(x) = 11 ).
- (Αντίστροφα ανάλογα)
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = \dfrac{6}{x}\).
α) Να συμπληρώσεις τον πίνακα:
| (x) | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (f(x)) |
β) Να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση.
γ) Πώς λέγεται αυτή η γραμμή;
δ) Τι παρατηρείς για τα σημεία της όταν το ( x ) μεγαλώνει;
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !